什么是悖论

悖论好比是数学世界里的魔术戏法，喜欢思考的人几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：这是怎么做到的？！悖论的逻辑推理艰涩深奥又妙趣横生。

当然，这种思考的愉悦并非每个人类都能体会得到，这篇文章纯粹是写给少数人看的。

悖论(paradox)一词来源于古希腊语“para+dokein”，其原意是：多想一想。

悖论是完美的矛盾。

这些既合乎情理又荒谬绝伦的完美的矛盾让人拍案惊奇！

悖论有三种主要形式：

1、一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。

2、一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。

3、一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。

引发三次数学危机的三个悖论

古今中外有不少著名的悖论，这些悖论曾多次震撼了逻辑和数学的基础，并引发了三次数学危机。

希帕索斯悖论与第一次数学危机

事情要从勾股定理说起。

公元前500多年，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯最早证明了勾股定理。毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，杀牛百只以示庆贺，因此这一定理又被人戏称为：“百牛定理”。

说起这个毕达哥拉斯实在是个很有趣的妙人，这个家伙是历史上最有趣味而又最难理解的人物之一，列宁曾评价毕达哥拉斯说他是“科学思维的萌芽同宗教神话之类幻想间的一种联系”。对于如此奇怪的家伙实在应该多说两句。

毕达哥拉斯出生在浪漫美丽的爱琴海中的萨摩斯岛，他自幼聪明好学，曾拜名师门下学习几何、自然科学和哲学。长大后，因为向往东方的智慧，在那个交通极不便利的年代，他经过万水千山来到神秘的东方，吸收了阿拉伯文明和印度文明还有中国文明的丰富营养。

大约在公元前530年，他又返回萨摩斯岛，后来又迁居意大利南部的克罗通，并在那里创立了一个宗教、政治、学术合一甚至带有点邪教性质并在当时希腊学术界占有绝对统治地位的秘密结社——毕达哥拉斯学派。

这个神秘社团里有男有女，地位一律平等，一切财产都归公有。社团的组织纪律很严密，带有浓厚的宗教色彩。每个学员都要在学术上达到一定的水平，加入组织还要经历一系列神秘的仪式，以求达到“心灵的净化”。 他们要接受长期的训练和考核，遵守很多的规范和戒律，并且要发毒誓永不泄露学派的秘密和学说。毕达哥拉斯学派的成员有着共同的哲学信仰和政治理想，他们吃着简单的食物，进行着严格的训练。学派的教义鼓励人们自制、节欲、纯洁、服从。他们相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体，万物都包含数，万物的根本都是数，甚至万物本身就是数，上帝是用数创造了宇宙并统治宇宙。

毕达哥拉斯教派制定了这样一些奇怪有趣的规矩：

1、禁食豆子。

2、东西落下了不要拣起来。

3、不要去碰白公鸡。

4、不要擘开面包。

5、不要迈过门闩。

6、不要用铁拨火。

7、不要吃整个的面包。

8、不要招花环。

9、不要坐在斗上。

10、不要吃心。

11、不要在大路上行走。

12、房里不许有燕子。

13、锅从火上拿下来的时候，不要把锅的印迹留在灰上，而要把它抹掉。

14、不要在光亮的旁边照镜子。

15、当你脱下睡衣的时候，要把它卷起并把身上的印迹捋平。

“一切数均可表示成整数或整数之比”是这一学派的数学信仰。然而，颇具戏剧性的是由毕达哥拉斯发现的勾股定理彻底推翻了他的这一信仰。

毕达哥拉斯学派里有个名叫希帕索斯的成员，这个希帕索斯聪明、好学、善于独立思考，他是毕达哥拉斯最得意的门生。希帕索斯对一个问题很好奇：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。这就是希帕索斯悖论，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，弄得毕达哥拉斯学派人心惶惶。希帕索斯提出的这个问题无疑触犯了本学派的信条，他被狂热愚昧的同门师兄弟扔进了海里淹死了。

希帕索斯悖论在当时直接导致了人们认识上的危机，不但是对当时占有学术统治地位的毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念也是一个极大的冲击，造成西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。

这场由希帕索斯悖论引发的数学危机一直延续到19世纪。直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而终结了困扰人们多年的“无理”时代，结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。

贝克莱悖论与第二次数学危机

第二次数学危机开始于微积分的出现。十七世纪几乎在同一时期，微积分这一巨牛无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。微积分一问世，许多数理上的疑难杂症立刻变得易如翻掌。

但是微积分理论不严格，存在缺陷，尤其是在“无穷小”的问题上。在当时，对“无穷小”的理解与运用是混乱的，即使是到了现在，绝大多数人也没有真正理解“无穷小”这个极为抽象的概念。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击，其中最歇斯底里的是当时的英国大主教贝克莱。

1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书：《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。贝克莱在书中嘲笑微积分理论中一会儿是零，一会儿又不是零的“无穷小”是个“已死量的幽灵”。 

数学史上把贝克莱提出的关于“无穷小”到底是不是零的问题称之为“贝克莱悖论”。

既是0又不是0介于有与没有之间的“无穷小”无疑是一个矛盾，这在当时的数学界又引起了一场混乱，导致了第二次数学危机。

直到十九世纪初，法国科学院的柯西和德国数学家维尔斯特拉斯建立了极限理论，成为了微积分的坚定基础。后来又将极限理论进一步的严格化，建立了严格的实数理论，使得这门学科严密化。

贝克莱悖论与第二次数学危机的解决把人们带入了微积分的领域。

集合论悖论与第三次数学危机

十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”，这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”　

正当这些头脑简单的家伙们为其简单到可笑的幼稚发现沾沾自喜时，英国数学家罗素提出了一个问题：

有一个集合S，S由一切不是自身元素的集合所组成。那么S是否属于S呢？

这就是著名的集合悖论。

根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地：如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。总之，无论如何都是矛盾的。

这一悖论就象在平静的水面上投下了一块巨石，在数学界引起轩然大波并导致了第三次数学危机。

危机产生后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。后来，公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。

集合论悖论与第三次数学危机的解决使人们重新回到对最基础的数学的研究与思索，并有了更深刻的认识。

经典悖论

说谎者悖论

《新约全书·提多书》里有这样一段，公元前6世纪，克里特人中的一个本地先知说：“克里特人总是撒谎，乃是恶兽，又馋又懒。”这个克里特岛的先知便是古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯。

大约公元前400年左右，小苏格拉底派中一个叫麦加拉学派分支的代表人物欧布里德将伊壁门尼德斯的话改进为：“我正在说谎。”

这句话是真的还是假的？

如果是句真话，这句话的内容表明说话者正在撒谎，既然是撒谎，那么说的是假话；反之，如果这句话是假的，说假话就是说谎，这句话的内容正是“我正在说谎”，因此这句话又是真的。

这就是古希腊的“说谎者悖论”，世界上最早的悖论。

学费问题

传说古希腊人爱瓦梯尔向古希腊著名诡辩学者普洛太哥拉斯学习辩术（另有一说是学习法律）。他们之间的约定是：爱瓦梯尔先付一半学费，另一半学费等学成后在第一场辩护胜诉时再付，如果败诉，则学费不必再交。

但是爱瓦梯尔毕业以后，没有从事辩护工作，他也不打算交另一半学费。

为了要回那另一半的学费和自己的尊严，普洛太哥拉斯想出了一个好办法，他准备去法庭告爱瓦梯尔。

普洛太哥拉斯说：“如果我胜诉了，法官当然会判爱瓦梯尔付我学费；如果我败诉，也就是说爱瓦梯尔打赢了第一场官司，按照‘另一半学费等学成后在第一场辩护胜诉时再付’的约定，爱瓦梯尔还是要付我另一办学费。无论如何，总之要付。”

可是，还没等普洛太哥拉斯去告爱瓦梯尔，爱瓦梯尔竟先把普洛太哥拉斯告上了法庭！

爱瓦梯尔说：“如果我胜诉，法官当然会判我不付学费；如果我败诉，也就是说我还没有打赢第一场官司，按照‘另一半学费等学成后在第一场辩护胜诉时再付’的约定，我也不必付另一半的学费。无论如何，总之不付。”

同样一个选择，逻辑上居然对矛盾的双方都有利，这真堪称经典悖论中的经典！

阿基里斯追龟

公元前5世纪，古希腊著名哲学家芝诺提出了这个著名的悖论：古希腊最擅长长跑的英雄阿基里斯追不上一只乌龟！他让阿基里斯同一只乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。

这就是著名的芝诺悖论。

上帝悖论

愚蠢的信徒们相信上帝是全能的，有人提出这样问题：“如果上帝是全能的，他能不能创造一块他举不起来的石头？”

从逻辑上解释：如果上帝不能造出这样一块石头，那他就不是全能；如果上帝可以造出这样一块石头，一块他举不起来的石头，既然上帝也有做不到的事情，那他也不是全能的。

因此，有一个简单而又必然的结论：上帝绝对不是全能的。

这是一个用结论来责难前提的例子，整个干净利索的推理过程无懈可击。这个悖论是对那些愚蠢无知到极点的有神论者漂亮有力的一击，虽然同样不能让这些笨蛋变得更聪明，也可以让其哑口无言闭上他们那鸹噪的乌鸦嘴。

无独有偶，笔者也有一个置疑上帝的悖论：

如果说上帝创造了世界万物包括人类，那么谁创造了上帝？

如果说上帝不需要谁来创造本来就存在，那么宇宙万物包括人类为什么就不能本来就存在，还非要整出个什么耶和华来创造？

伽利略悖论

我们都知道整体大于部分。一个三角形ABC上，由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长。这就是伽利略悖论。

伽利略悖论也可以这样表述：为什么一条只有1厘米长的线段上的点和整个太平洋所包含的点一样多？

硬币悖论

两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！这是为什么？大家亲自试试，然后思考一下，很有意思的。

罗素悖论

一个小村中的理发师挂出了一个招牌，上写着：“村中所有不能给自己理发的人都由我给他们理发。今后我不再给其他人理发，只给这些人理发。”

有人问：“那么您的头发由谁理？”

理发师瞠目结舌，无言以对。因为如果他自己不能给自己理发，就属于村中不能给自己理发的男人，按招牌上的说法，他就应该给自己理发；如果他一旦给自己理了发，他就不属于村中不能自己理发的男人，他就不应该给这样的人理发。因此，不管怎样说，理发师的话总是自相矛盾。

这就是著名的理发师悖论，是对集合论悖论的直观形象的描述，由英国著名的哲学家、数学家罗素于1919年提出来的，所以也叫罗素悖论。

唐·吉诃德悖论 

小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家有一条奇怪的法律，规定每一个来这个国家的旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”

如果旅游者回答对了，一切都好办。如果回答错了，就要被绞死。

一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。”

这时，卫兵犯了难：如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑；可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。怎么办才好呢？

万能溶液悖论

说有一位年轻人雄心勃勃地告诉一位化学家说他要发明一种“万能溶液”，这种“万能溶液”能够溶解世界上所有的物质。

“那你首先要先发明一个可以装载这种‘万能溶液’的容器！”化学家听后平静的说。

苏格拉底的一句悖论名言

“我只知道一件事，那就是我一无所知。”

悖论禅诗二则 

一首是：

菩提本无树，明镜亦非台；本来无一物，何处惹尘埃。

据说六祖慧能在读到《金刚经》中“应无所住，而生其心”一句时，豁然感悟，写下这首禅诗。其中表达了一个“空”的思想。

另一首是：

空手把锄头，步行骑水牛；人在桥上走，桥流水不流。

这是南北朝时的一位禅师善慧大士傅翕写的一首禅诗，杨惠南在《论禅宗公案中的矛盾与不可说》一文里称这是一个“矛盾公案”。这其中充满了与事实相矛盾的描写。

中国古代最著名的悖论典故

楚人有鬻盾与矛者，誉之曰：“吾盾之坚，物莫能陷也。”又誉其矛曰：“吾矛之利，于物无不陷也。”或曰：“以子之矛陷于之盾，何如？”其人弗能应也。夫不可陷之盾与无不陷之矛，不可同世而立。

——《韩非子·难一》

自相矛盾这个典故大概是对悖论最好的诠释。

诡辩

将魔术戏法表演给大家看的是魔术师；用来愚弄欺骗世人故弄玄虚的则是江湖骗子邪教教主一类的。

同魔术戏法一样，有悖论就有不少知识界的骗子利用悖论来进行诡辩。

什么是诡辩？

古希腊有个故事很好的解释了什么是诡辩。

一个学生问他的老师：“什么是诡辩？”

老师反问道：“有甲乙两人，甲很干净，乙很脏。如果请他们洗澡，他们中间谁会洗？”

这里有四种可能：

一是甲洗，因为他爱干净；

二是乙洗，因为他需要；

三是两人都洗，一个是因为习惯，另一个是因为需要；

四是两人都没洗，因为脏人没有洗澡的习惯，干净人不需要洗。

这四种可能彼此相悖，无论学生作出怎样的回答，老师都可以予以反驳，因为他不需要有一个客观的标准，这就是诡辩。

葛拉西安在《智慧书：永恒的处世经典》中说：“诡辩是一种欺骗，乍一听，它蛮有道理，并因其刺激新奇而令人心惊，但随后，当其虚饰之伪装被揭穿，就会自取其辱。”

《吕氏春秋》记载了这样一个故事：洧水发大水，淹死了郑国一个富家子弟。尸体被别人打捞起来，富户的家人要求赎回。然而捞到尸体的人要价太高，富户的家人不愿接受，他们找邓析出主意。邓析说：“不用着急，除你之外，他还能卖给谁？”而捞到尸体的人也等得急了，也去找邓析要主意。邓析却回答：“不要着急，他不从你这里买，还能从谁那里买？”这个邓析生于春秋末年，与孔子同时代，是战国名家的鼻祖，著名的讼师。

同一个事实，邓析却推出了两个相反的结论，每一个听起来都合乎逻辑，但合在一起就荒谬了。这个邓析找不到解决的办法，就只会靠诡辩来拖延时间蒙骗世人。

子产执政郑国时邓析任大夫，他主张：“操两可之说，设无穷之词”，并能“持之有故，言之成理”。子产认为他“以非为是，以是为非，是非无度，而可与不可日变。” 后来，到了驷颛执政郑国时，这个中国古代有名的诡辩家终于因政治斗争被杀。

类似的诡辩文字游戏命题还有：

“父在母先亡。”

——到底是父先亡还是母先亡？看来标点符号真的很重要。

“先有蛋还是先有鸡？”

——其实既不是先有蛋也不是先有鸡，而是先有了各种基本粒子，然后有了各种元素尤其是有了碳元素氧元素氮元素，然后有了简单的无机物，然后有了复杂的有机物什么糖类蛋白质脱氧核糖核酸DNA和RNA，然后出现了病毒细菌单细胞藻类等生命的最简单形式，然后分化动植物，然后生物进化，……直到出现了蛋和鸡这种东东。

诡辩忽略“本质”而纠缠“属性”，从现存的事物表面现象中推论出矛盾的结论来，而不详细考察追究真实性。

诡辩最常用的手法就是偷换概念产生悖论，让人混淆不清。对付诡辩最好的办法就是在实践中加以考证，事实永远胜于雄辩。

当然，对付诡辩还有一个更快更省事更有效的方法就是：干脆别理它。